2007-06-28-01-嗚呼平方根！
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最終更新日付：2007/06/28 01:00:00
嗚呼平方根！
2007 年 06 月 28 日
a の平方根 ── すなわち √a の解を x とすると、以下の式が成り立つ（一応 a は整数ということにしておく）。
x^2 = a
で、これを移項すると、
x^2 - a = 0
では、これをこう考えてみよう。
y = x^2 - a
すると、問題を２次方程式として考えることができる。解は、y = 0 となるような x を求めることだ。
で、x が a の場合（ = x1 ）を起点として、２次曲線の接線が x 軸に交わる点を x2 とし、その接線が x 軸と交わる場合を．．．という感じで再帰的に繰り返していくと、最終的に解に収束するのだ！ これをニュートン法というらしい。この様子を以下に示す。
で、何でこんな話が突然出てきたか、というと、最近妄想半分に頭の中で造っているゲームで、平方根の処理が必要になったからだ。しかし、Palm OS API には平方根を求める関数が存在しないのである。RPNToGo で N 乗根の計算をやってたじゃないかって？ あれは整数解が出なければ NG、というルールだったから簡単だったのだ。しかし、今度は現実的な精度で常に解を出さなければならない。しかし API はない。ならば自分で書くしかない。しかし、浮動小数点数の平方根を算出するなんて、どうやってやったらいいの？ と、途方に暮れていたのである。
そんなわけで検索してみたのだ。「 C言語 平方根」と．．．なになに？ sqrt( ) 関数を使え？ #include <math.h>？ いや、それがないから困っているのでございましょう？ ．．．とかなんとかやっていると、ニュートン法による解法を紹介しているページに行き当たった。最初は「え、これで解けるの？」と思ってしまったが、じぃぃっと眺めて考える振りをしてみると、どうやらこれでいけてしまうようだ。書いてみると、驚くほどコンパクトに ── なんと数行で ── 書けてしまったではないか！ 収束判断は doubleの精度的に無理な（つまり Xn - Xn+1 がゼロと判断されてしまう）レベルを検出すればいいのである意味潔く書けた。
最初は、「開平法」をごりごりとロジックにしなきゃならんかな．．．と思っていたのだ。開平法というのは、手計算で平方根を求めるアレである。中学校のときに習ったはずだ。あれをロジックに書きおろすというのはちょっと考えたくない。それほど難しくはないが十分すぎるほど面倒である。しかし、このニュートン法のおかげで十分に現実的な解を得ることができた。有難い限りである。そして、楽しかった。
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